Hãy tưởng tượng một con số được tạo thành từ một chuỗi lớn các chữ số 1: 1111111…111. Cụ thể là 136.279.841 chữ số 1 xếp thành một hàng. Nếu chúng ta xếp chồng nhiều tờ giấy như vậy, kết quả thu được là một cột giấy với chiều cao đến tận tầng bình lưu.

Nếu chúng ta viết con số này trên máy tính dưới dạng nhị phân (chỉ sử dụng chữ số 1 và số 0), nó sẽ chỉ chiếm khoảng 16 megabyte. Nhưng khi chuyển sang cách viết số thập phân quen thuộc hơn, con số này – bắt đầu bằng 8.816.943.275… và kết thúc là …076.706.219.486.871.551 đồng thời giữa chúng sẽ có hơn 41 triệu chữ số. Nó sẽ lấp đầy 20.000 trang sách.

Một cách khác để viết con số này là 2136.279.841 – 1. Có một vài điều đặc biệt về nó. Đầu tiên, đó là một số nguyên tố (có nghĩa là nó chỉ chia hết cho chính nó và một). Thứ hai, đó là cái được gọi là số nguyên tố Mersenne dạng 2^p-1. Và thứ ba, cho đến nay, đây là số nguyên tố lớn nhất từng được phát hiện trong một cuộc tìm kiếm toán học có lịch sử kéo dài hơn 2.000 năm.

Phát hiện nhờ GPU

Phát hiện rằng con số này (gọi tắt là M136279841) là một số nguyên tố được thực hiện vào ngày 12.10 vừa qua bởi Luke Durant - một nhà nghiên cứu 36 tuổi đến từ San Jose, California. Durant là một trong số hàng nghìn người làm việc trong chương trình săn tìm số nguyên tố tình nguyện có tên là Great Internet Mersenne Prime Search, hay GIMPS.

Một số nguyên tố nhỏ hơn một lũy thừa của hai (hoặc những gì các nhà toán học viết là 2^p – 1) được gọi là số nguyên tố Mersenne, theo tên của nhà sư người Pháp Marin Mersenne. Ông là người đã nghiên cứu chúng hơn 350 năm trước. Một số số nguyên tố Mersenne đầu tiên là 3, 7, 31 và 127.

Durant đã khám phá ra điều này thông qua sự kết hợp của các thuật toán toán học, kỹ thuật thực tế và sức mạnh tính toán khổng lồ. Trong khi các số nguyên tố lớn trước đây đã được tìm thấy bằng bộ xử lý máy tính truyền thống (CPU), thì khám phá này là khám phá đầu tiên sử dụng một loại bộ xử lý khác gọi là GPU.

GPU ban đầu được thiết kế để tăng tốc độ hiển thị đồ họa và video. GPU gần đây đã được sử dụng lại để đào tiền điện tử và cung cấp năng lượng cho AI.

Durant, cựu nhân viên của nhà sản xuất GPU hàng đầu NVIDIA, đã sử dụng GPU mạnh mẽ trên đám mây để tạo ra một loại "siêu máy tính đám mây" trải dài 17 quốc gia. GPU may mắn là bộ xử lý NVIDIA A100 đặt tại Dublin, Ireland.

Số nguyên tố và số hoàn hảo

Ngoài sự phấn khích khi khám phá, tiến bộ này tiếp tục một cốt truyện có từ hàng thiên niên kỷ trước. Một lý do khiến các nhà toán học bị mê hoặc bởi số nguyên tố Mersenne là vì chúng liên quan đến cái gọi là số "hoàn hảo".

Một số là hoàn hảo nếu khi bạn cộng tất cả các số chia đúng cho nó, chúng cộng lại bằng chính số đó. Ví dụ, sáu là số hoàn hảo vì 6 = 2 × 3 = 1 + 2 + 3. Tương tự như vậy, 28 = 4 × 7 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Với mỗi số nguyên tố Mersenne, cũng giúp ta có một số hoàn hảo chẵn. Tồn tại song ánh giữa các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn được phát biểu trong Định lý Euclid–Euler, do Euclid chứng minh một phần và Leonhard Euler hoàn thiện: các số chẵn là hoàn hảo khi và chỉ khi biểu diễn được dưới dạng 2^{p − 1} × (2^p − 1), trong đó 2^p − 1 là số nguyên tố Mersenne. (Trong một trong những bài toán toán học còn dang dở lâu đời nhất, người ta không biết liệu có số hoàn hảo lẻ nào không).

Số hoàn hảo đã làm con người say mê trong suốt chiều dài lịch sử. Ví dụ, người Do Thái thời kỳ đầu cũng như Thánh Augustine coi sáu là số hoàn hảo thực sự, vì Chúa đã tạo ra Trái đất trong đúng sáu ngày (trước nghỉ vào Chủ nhật).

Số nguyên tố thực tế có ứng dụng gì?

Nghiên cứu về số nguyên tố không chỉ là sự tò mò mang tính lịch sử. Lý thuyết số cũng rất cần thiết đối với mật mã học hiện đại. Ví dụ, tính bảo mật của nhiều trang web phụ thuộc vào độ khó vốn có trong việc tìm ra các thừa số nguyên tố của các số lớn.

Các số được sử dụng trong cái gọi là mật mã khóa công khai (loại bảo mật hầu hết các hoạt động trực tuyến chẳng hạn) thường chỉ có vài trăm chữ số thập phân, rất nhỏ so với M136279841.

Tuy nhiên, những lợi ích của nghiên cứu cơ bản về lý thuyết số (nghiên cứu phân phối các số nguyên tố, phát triển các thuật toán để kiểm tra xem các số có phải là số nguyên tố hay không và tìm ra các thừa số của các số hợp số) thường có ý nghĩa quan trọng trong việc giúp duy trì quyền riêng tư và bảo mật trong giao tiếp kỹ thuật số của chúng ta.

Một cuộc tìm kiếm bất tận

Số nguyên tố Mersenne thực sự rất hiếm: kỷ lục mới lớn hơn kỷ lục trước đó hơn 16 triệu chữ số và chỉ là kỷ lục thứ 52 từng được phát hiện.

Chúng ta biết rằng có vô hạn số nguyên tố. Điều này đã được nhà toán học Hy Lạp Euclid chứng minh cách đây hơn 2.000 năm: nếu chỉ có một số lượng hữu hạn các số nguyên tố, chúng ta có thể nhân tất cả chúng lại với nhau và cộng thêm một. Kết quả sẽ không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào mà chúng ta đã tìm thấy, vì vậy phải luôn có ít nhất một số nữa ở ngoài đó.

Nhưng chúng ta không biết liệu có vô hạn số nguyên tố Mersenne hay không – mặc dù người ta phỏng đoán là có. Thật không may, chúng quá hiếm để các kỹ thuật của chúng ta có thể phát hiện ra.

Hiện tại, số nguyên tố mới đóng vai trò là một cột mốc trong sự tò mò của con người và là lời nhắc nhở rằng ngay cả trong thời đại công nghệ thống trị, một số bí mật sâu sắc và hấp dẫn trong vũ trụ toán học vẫn nằm ngoài tầm với. Thách thức vẫn còn, mời gọi các nhà toán học và những người đam mê tìm ra những điều còn ẩn giấu trong bức tranh vô tận của các con số.

Anh Tú