Đi tìm số nguyên tố lớn nhất: Hàng triệu tỉ phép tính thực hiện mỗi giây

Số nguyên tố đã được nghiên cứu trong hơn 2.000 năm, ít nhất là từ thời của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid. Có vô số những con số nguyên tố, nhưng số nguyên tố lớn nhất được biết đến hiện nay là bao nhiêu?

Các số nguyên tố là những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, chẳng hạn như 2, 3 và 7. Chúng là những khối xây dựng quan trọng trong toán học. Theo định lý cơ bản của số học, mọi số lớn hơn 1 đều là số nguyên tố hoặc bội số của một vài số nguyên tố. Thomas Kecker, nhà toán học tại Đại học Portsmouth ở Anh nói ngắn gọn: “Số nguyên tố là 'nguyên tử' của lý thuyết số".

Theo Kecker, sự khác biệt lớn giữa nguyên tử trong thế giới thực và số nguyên tố là số lượng các loại nguyên tử ổn định khác nhau thì hữu hạn. Ngược lại, “người ta ngay từ thời Euclid ở Hy Lạp cổ đại đã biết rằng có vô số các số nguyên tố. Do đó, việc tìm ra các số nguyên tố lớn hơn rồi lớn hơn nữa đã trở thành nhiệm vụ của nhiều nhà toán học”.

Theo Đại học Nebraska-Lincoln, số nguyên tố lớn nhất được biết hiện nay là 2^(82.589.933) - 1. Để tính số này, hãy nhân 2 với số 82.589.933 lần rồi trừ đi 1. Kết quả, còn được gọi là M82589933, có tới 24.862.048 chữ số, nhiều hơn 1,5 triệu lần so với số nguyên tố lớn thứ nhì được biết đến.

M82589933 là số nguyên tố Mersenne, một loại số được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Marin Mersenne, người đã nghiên cứu những con số này hơn 350 năm trước. Theo Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), để tính số nguyên tố Mersenne, họ dùng chiến lược tìm số có cấu trúc là 2 được nhân với chính nó nhiều lần rồi trừ đi 1.

GIMPS là một dự án điện toán phân tán trong đó các nhóm tình nguyện viên chạy 24/7 phần mềm trên máy tính của họ để giải quyết các vấn đề chung mà trong trường hợp này là tìm số nguyên tố Mersenne. Theo trang web của dự án, GIMPS được thành lập vào năm 1996 và là dự án điện toán phân tán hoạt động liên tục lâu nhất.

Curtis Cooper, một nhà toán học đã nghỉ hưu tại Đại học Central Missouri, cho biết: “Phương pháp tính toán phân tán này để tìm số nguyên tố lớn nhất đã rất thành công. Trong hơn ¼ thế kỷ tồn tại, GIMPS đã tìm thấy 17 số nguyên tố Mersenne”, đồng thời Cooper cho biết: “Hầu hết trong số này là những số nguyên tố lớn nhất được biết đến vào thời điểm chúng được phát hiện”.

Cooper và các đồng nghiệp đã phát hiện ra bốn số nguyên tố Mersenne, tất cả đều là những số nguyên tố lớn nhất được biết đến khi chúng được tìm thấy. M82589933 được phát hiện vào ngày 7.12.2018, do tình nguyện viên Patrick Laroche, một chuyên gia CNTT sống ở Ocala, Florida phát hiện, sau 12 ngày sử dụng máy tính không ngừng nghỉ. Hiện tại, GIMPS chạy trên hơn 2,6 triệu CPU thực hiện khoảng 4 triệu tỉ phép tính mỗi giây.

Kecker nói: “Đối với một số nguyên lớn - chẳng hạn như có vài nghìn chữ số - việc kiểm tra xem số đó có phải là số nguyên tố hay số hỗn hợp ngày càng tốn nhiều thời gian hơn. Ngay cả với các thuật toán tiên tiến nhất và siêu máy tính mới nhất để chạy chúng, việc kiểm tra xem một số có phải là số nguyên tố hay không có thể dễ dàng vượt quá tuổi thọ của đời người".

Tuy nhiên, qua nhiều năm, các nhà toán học đã khám phá ra các chiến lược để tìm hiểu xem số Mersenne có phải là số nguyên tố hay không và những phương pháp này nhanh hơn nhiều so với các kỹ thuật được sử dụng cho các loại số nguyên tố khác. Cho đến năm 2018, cứ hai năm GIMPS lại phát hiện ra một số nguyên tố Mersenne mới.

Kecker nói: “Không có số mới nào được tìm thấy kể từ đó. Nó gần giống như việc chờ đợi một vụ phun trào núi lửa sau một thời gian dài không hoạt động. Cho dù người ta biết lần phun trào tiếp theo có thể sẽ xảy ra bất cứ lúc nào, nhưng người ta không bao giờ biết chính xác khi nào nó lại bùng lên và liệu nó có bùng lên lần nữa hay không".

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Chẳng hạn, 5 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích, 1 × 5 hoặc 5 × 1, có một thừa số là chính số 5.

Tuy nhiên, 6 là hợp số vì nó là tích của hai số (2 × 3) mà cả hai số đều nhỏ hơn 6. Số nguyên tố là nội dung trọng tâm trong lý thuyết số theo định lý cơ bản của số học: mọi số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố hoặc có thể được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất xê xích một phép hoán vị.

Có vô số số nguyên tố, như đã được Euclid chứng minh vào khoảng năm 300 TCN. Hầu như không có công thức đơn giản nào để phân biệt số nguyên tố và hợp số. Tuy nhiên, sự phân phối các số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên có trong một khoảng giá trị lớn có thể được mô hình hóa theo thống kê.

Kết quả đầu tiên theo hướng đó là định lý số nguyên tố, được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, cho rằng xác suất để một số bất kỳ là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của nó, nghĩa là với logarit của nó.